學(xué)習(xí)筆記：傅里葉變換

技術(shù)理論的學(xué)習(xí)，那是有趣共枯燥一色，暈菜與理解齊飛。最近久好電子的一個技術(shù)學(xué)習(xí)小組就深有體會。然而一點一滴的、不斷的學(xué)習(xí)中，每個人都是收獲滿滿。我們一起來看看某學(xué)霸這一周的讀書筆記。

【第三章 傅里葉變換    作者：李曉強】

首先從內(nèi)容的銜接上來總結(jié)本章內(nèi)容----只要滿足狄利赫里條件的周期信號，都可以用傅里葉級數(shù)來表示；傅里葉級數(shù)可以用三角波形式給出；如果利用歐拉方程替換三角波，又可以用指數(shù)形式表示；如果將級數(shù)中的每一個信號的頻率提取出來，將相應(yīng)頻率的幅值表示到平面坐標(biāo)中，這個離散的頻率-幅值坐標(biāo)面我們稱之為幅度譜；將三角波每個頻率成份的相位表示到平面坐標(biāo)中，這個離散的頻率-相位坐標(biāo)平面稱之為相位譜。

不得不感嘆，這種周期信號的表示方法完美到令人窒息，用傅里葉級數(shù)的頻譜方式表示任意周期信號，可以包含此信號的所有信息，而這就是頻域。

周期信號（加條件）用傅里葉級數(shù)可以完美的表達，那么非周期信號怎么辦？事實上，如果一個周期信號當(dāng)它的周期趨向于無窮大，那么這個信號我們認為它非周期，所以只要對周期信號進行傅里葉級數(shù)展開，同時對其周期求極限，那這個“周期無群大”的信號也能展開成一個傅里葉級數(shù)。反過來說，非周期信號也可能存在傅里葉級數(shù)，這種周期無群大信號的傅里葉級數(shù)展開稱之為傅里葉變換。

仍然用頻譜的方式來觀察一個周期信號傅里葉級數(shù)，會發(fā)現(xiàn)當(dāng)周期信號的周期加大時，其譜線的X 坐標(biāo)密度增加，如果周期被極限為無窮大，頻譜的密度則無限密，變得連續(xù)起來。

敲黑板：

此時不能將這種極限狀況演化下的結(jié)果稱為連續(xù)頻譜，因為對于一個非周期信號而言，其總歸是有一定能量，如果直接用連續(xù)的頻譜，其能量是就是每個頻點的相加，這樣就會存在一個矛盾，連續(xù)的頻譜是無限頻點，而幅度是一個有限值，這樣信號的能量就變?yōu)榘l(fā)散值。

如果考慮了傅里葉級數(shù)的前提，周期雖然趨向于無群大，頻譜依然存在，只是頻譜間隔變?yōu)闊o窮小，這樣得到的頻率-幅度的平面坐標(biāo)稱之為密度譜，其物理含義就是：任意一點的頻率值趨向于0（因為頻率寬度0），但是一段頻率的能量值仍然有效。

? 周期信號的傅里葉級數(shù)

周期信號的傅里葉級數(shù)的展開及其系數(shù)的計算，幅度譜和相位譜的計算，如果用歐拉公式將傅里葉級數(shù)展開，要理解復(fù)頻域的概念，其頻率會產(chǎn)生負的部分，實際這是用指數(shù)表示三角函數(shù)過程中數(shù)學(xué)運算的結(jié)果，如果將相位加入，那么π相位為負幅值。

傅里葉級數(shù)在工程應(yīng)用中由于頻率無法達到無限值，當(dāng)頻率有限時，其級數(shù)就存在一個方均誤差。

? 傅里葉變換及典型的非周期信號傅里葉變換

將周期信號的周期取極限得到傅里葉變換，反向思維，如果要求一個非周期函數(shù)的傅里葉變換，可以先求相似的周期信號的傅里葉級數(shù)，然后將周期取極限。門限函數(shù)的傅里葉變換是Sa 函數(shù)

? 沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅氏變換

沖激函數(shù)的傅里葉變換是1，也就是說理想的沖激函數(shù)包含了任何頻率信息，其幅值是1，稱之為均勻譜。如果對門限函數(shù)的門限寬度取無窮極限，就得到直流信號的傅里葉變換是沖激函數(shù)。階躍信號的傅里葉變換是一個沖激信號和反比例函數(shù)的合成，所以我們總是以沖激函數(shù)和階躍函數(shù)仿真系統(tǒng)的響應(yīng)特性，因為其頻率成份足夠多。

? 傅里葉變換的基本性質(zhì)

對稱性、疊加性、奇偶虛實性、尺度變換性、時移特性、頻移特性、微積分特性。

? 卷積定理

時域卷積定理：時域的卷積就是頻域的相乘

頻域卷積定理：頻域的卷積是時域相乘除以2π

? 周期信號的傅里葉變換

傅里葉變換求得信號的連續(xù)密度譜，而周期信號的傅里葉變換的譜線離散的，這時候只能用沖激函數(shù)的能量無限來抵消頻率離散所帶來的能量計算問題。進一步，如果求的周期信號的傅里葉變換，將其與沖激函數(shù)來求卷積，那么很容易求得周期信號的傅里葉級數(shù)系數(shù)。

? 抽樣信號的傅里葉變換和抽樣定理

本節(jié)屬于傅里葉變換的應(yīng)用范疇，根據(jù)前章的鋪墊，如果用一個信號fs 采樣一個信號fi，實際上就是這個信號fs 對被抽樣信號fi 的卷積，那么根據(jù)時域卷積定理，可以分別求其傅里葉變換，然后在頻域相乘得到頻域信號，最后經(jīng)過傅里葉反變換得到采樣信號的時域信號。

抽樣定理又稱為奈奎斯特采樣定理，也就是采樣頻率fs 至少是被采樣信號fi 的2 倍，才有可能無失真的恢復(fù)原信號。